鉛直投げ上げの公式と例題

🔷 鉛直投げ上げとは？

鉛直投げ上げ（えんちょくなげあげ）とは、物体を真上に向かって投げる運動のことです。
重力の影響を受けながら、物体が上昇し、いずれ最高点に達し、そこから落ちてきます。

前回の鉛直投げ下ろしと違う点は、運動が上向きと下向きの両方に働くという点です。

重力の影響を受けながら、物体が上昇し、いずれ最高点に達し、そこから落ちてきます。

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♦特徴的な3つのポイント

段階	状態
① 投げ上げる瞬間	上向きの初速度 $v_0$をもって運動が始まる
② 最高点	速度 $v = 0$ここが運動の切り替えポイント
③ 落ちてくる途中	加速度 $a = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$で下向きに加速

上向きの運動と、下向きの運動が異なるのがこの運動の特徴です。

さらに最高点では速度が０になるという点も重要なポイントです。

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🔷鉛直投げ上げの公式

鉛直投げ上げは、等加速度直線運動の一種で、以下の公式を使います。

1. 速度と時間の関係

   $$v = v_0 - g t$$
   

   ※上向きを正とした場合。$g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$
   

   　

2. 位置と時間の関係

   $$y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$
   

3. 最高点に達する時間

   $$t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g}$$$$\frac{\mathrm{<span\; class="vlist-s"\; style="font-family:\; -apple-system,\; BlinkMacSystemFont,\; \text{'}Segoe\; UI\text{'},\; Helvetica,\; Arial,\; sans-serif;"></span>}}{}$$

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   🔷 例題

   では実際に、鉛直投げ下ろしの問題を解いてみましょう。

   鉛直投げ下ろしの時の基本問題と同様に、わかっている数値を公式に当てはめることで求められます。

   🟨 例題1(基本問題）

   ある物体を地面から**上向きに初速度 $v_0 = 20\,\mathrm{m/s}$**で投げ上げたとします。
   重力加速度を $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$として、次の問いに答えなさい。

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   (1) 物体が最高点に達するまでの時間を求めよ。

   (2) 最高点の高さを求めよ。

   (3) 投げ上げてから再び地面に戻ってくるまでの時間を求めよ。

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   ✅ 解答・解説：

   (1) 最高点に達する時間 $t_{\text{max}}$

   使う式：$${}_{}$$

   最高点では速度 $v = 0$
   

   これを変形させて

$$t_{\text{max}}=\frac{v_0}{g}$$

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(2) 最高点の高さ $y_{\text{max}}$

使う式：

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(3) 地面に戻るまでの時間（往復）

上りと下りは対称なので、最高点までの時間を2倍するだけ。

$$t_{\text{total}}=2\times t_{\text{max}}=2\times 2.04=\boxed{{\displaystyle 4.08\mathrm{s}}}$$

$$t_{\text{total}} = 2 \times t_{\text{max}} = 2 \times 2.04 = \boxed{4.08\,\mathrm{s}}$$

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🟨 例題2 (応用問題）

地面から高さ $h = 30\,\mathrm{m}$の地点から、物体Aを初速度 $v_0 = 15\,\mathrm{m/s}$で下向きに投げ下げた。

同時に、地上から物体Bを初速度 $v_1 = 10\,\mathrm{m/s}$で上向きに投げた。

重力加速度は $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$とする。

(1)2つの物体が空中ですれ違うのは投げてから何秒後か？

(2) そのときの高さはどこか？

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✅ 解答・解説：

✏️ 位置を時間の式で表す

Aの位置（上から投げる）

地上ではなく30mの高さから投げる場合、スタート時の位置30から現在の位置を引く。

$$y_A(t) = 30 - 15t - \frac{1}{2}gt^2$$$$y_A(t) = 30 + 15t - \frac{1}{2}gt^2$$

Bの位置（地面から投げる）

$$y_B(t) = 10t - \frac{1}{2}gt^2$$

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(1) すれ違う時：位置が一致する

$$y_A(t) = y_B(t)$$

$$30 - 15t - \frac{1}{2}gt^2 = 10t - \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow 30 - 15t = 10t \Rightarrow 25t = 30 \Rightarrow t = \boxed{1.2\,\mathrm{s}}$$$$30 + 15t - \frac{1}{2}gt^2 = 10t - \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow 30 + 15t = 10t \Rightarrow 5t = -30$$

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(2) そのときの高さ：

Bの位置に代入：

$$y = 10t - \frac{1}{2}gt^2 = 10 \times 1.2 - 4.9 \times (1.2)^2 = 12 - 7.056 = \boxed{4.944\,\mathrm{m}}$$

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✅ 答え

(1) すれ違うのは 1.2 秒後
(2) その高さは 約 4.9 m

いかがでしたか。

鉛直投げ上げは一見難しそうに見えますが、鉛直投げ下ろしと同じように公式さえ覚えてしまえば簡単です。

鉛直投げ上げは、斜方投射や水平投射を解く際に必要となってくるので、ここで必ずマスターしておいてくださいね。

では今回はここまで。

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